$$$x$$$ değişkenine göre $$$\frac{1}{a - x^{2}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{a - x^{2}}\, dx$$$.

$$$u=x \sqrt{- \frac{1}{a}}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}}\right)^{\prime }dx = \sqrt{- \frac{1}{a}} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{\sqrt{- \frac{1}{a}}}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a - x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{- a}}{a \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{\sqrt{- a}}{a}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{- a}}{a \left(u^{2} + 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\frac{\sqrt{- a} \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{a}}}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\sqrt{- a} {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{a} = \frac{\sqrt{- a} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{a}$$

Hatırlayın ki $$$u=x \sqrt{- \frac{1}{a}}$$$:

$$\frac{\sqrt{- a} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{a} = \frac{\sqrt{- a} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{x \sqrt{- \frac{1}{a}}}} \right)}}{a}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{a - x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{- a} \operatorname{atan}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}} \right)}}{a}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\frac{1}{a - x^{2}} d x} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}} \right)}}{\sqrt{- a}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{a - x^{2}} d x} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}} \right)}}{\sqrt{- a}}+C$$

$$$\int \frac{1}{a - x^{2}}\, dx = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}} \right)}}{\sqrt{- a}} + C$$$A