$$$\frac{1}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}\, dx$$$.

$$$u=2 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(2 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \left(\cos{\left(u \right)} - 1\right)}\right)d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=- \frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u \right)} - 1}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \left(\cos{\left(u \right)} - 1\right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)} - 1} d u}}{2}\right)}}$$

Kosinüsü çift açı formülü $$$\cos\left( u \right)=1-2\sin^2\left(\frac{ u }{2}\right)$$$ kullanarak yeniden yazın ve sadeleştirin:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)} - 1} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}\right)d u}}}}{2}$$

$$$v=\frac{u}{2}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$du = 2 dv$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$- \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}\right)d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(v \right)}}\right)d v}}}}{2}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(v \right)}}$$$ ile uygula:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(v \right)}}\right)d v}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(v \right)}} d v}\right)}}}{2}$$

İntegrali alınan ifadeyi kosekant cinsinden yeniden yazın:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(v \right)}} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(v \right)} d v}}}}{2}$$

$$$\csc^{2}{\left(v \right)}$$$'nin integrali $$$\int{\csc^{2}{\left(v \right)} d v} = - \cot{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(v \right)} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cot{\left(v \right)}\right)}}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$v=\frac{u}{2}$$$:

$$- \frac{\cot{\left({\color{red}{v}} \right)}}{2} = - \frac{\cot{\left({\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}} \right)}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{\cot{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{2} = - \frac{\cot{\left(\frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}{2} \right)}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(2 x \right)}} d x} = - \frac{\cot{\left(x \right)}}{2}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(2 x \right)}} d x} = - \frac{\cot{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}\, dx = - \frac{\cot{\left(x \right)}}{2} + C$$$A