$$$\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}}\, dx$$$.

İntegranı sadeleştirin:

$${\color{red}{\int{\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{25}{4 x^{2} - 12 x + 9} d x}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=25$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{4 x^{2} - 12 x + 9}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{25}{4 x^{2} - 12 x + 9} d x}}} = {\color{red}{\left(25 \int{\frac{1}{4 x^{2} - 12 x + 9} d x}\right)}}$$

Kareye tamamlayın (adımlar » görülebilir): $$$4 x^{2} - 12 x + 9 = \left(2 x - 3\right)^{2}$$$:

$$25 {\color{red}{\int{\frac{1}{4 x^{2} - 12 x + 9} d x}}} = 25 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} d x}}}$$

$$$u=2 x - 3$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 x - 3\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$$25 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} d x}}} = 25 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$ ile uygula:

$$25 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}} = 25 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=-2$$$ ile uygulayın:

$$\frac{25 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}}{2}=\frac{25 {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}}{2}=\frac{25 {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{2}=\frac{25 {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}}{2}=\frac{25 {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 x - 3$$$:

$$- \frac{25 {\color{red}{u}}^{-1}}{2} = - \frac{25 {\color{red}{\left(2 x - 3\right)}}^{-1}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}} d x} = - \frac{25}{2 \left(2 x - 3\right)}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}} d x} = - \frac{25}{4 x - 6}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}} d x} = - \frac{25}{4 x - 6}+C$$

$$$\int \frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}}\, dx = - \frac{25}{4 x - 6} + C$$$A