$$$- \sin^{3}{\left(x \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \left(- \sin^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\left(- \sin^{3}{\left(x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sin^{3}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Bir sinüs terimini ortak çarpan olarak dışarı alın ve geri kalan her şeyi kosinüs cinsinden yazın, $$$\sin^2\left(\alpha \right)=-\cos^2\left(\alpha \right)+1$$$ formülünü $$$\alpha=x$$$ ile kullanarak:

$$- {\color{red}{\int{\sin^{3}{\left(x \right)} d x}}} = - {\color{red}{\int{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$- {\color{red}{\int{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} d x}}} = - {\color{red}{\int{\left(u^{2} - 1\right)d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = 1 - u^{2}$$$ ile uygula:

$$- {\color{red}{\int{\left(u^{2} - 1\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{\left(1 - u^{2}\right)d u}\right)}}$$

Her terimin integralini alın:

$${\color{red}{\int{\left(1 - u^{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{u^{2} d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$$- \int{u^{2} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - \int{u^{2} d u} + {\color{red}{u}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=2$$$ ile uygulayın:

$$u - {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=u - {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=u - {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} - \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}} - \frac{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{3}}{3}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\left(- \sin^{3}{\left(x \right)}\right)d x} = - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\left(- \sin^{3}{\left(x \right)}\right)d x} = - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \left(- \sin^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + C$$$A