$$$\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx$$$.

$$$u=2 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$${\color{red}{\int{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{g}=\operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=du$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{dg}=\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u^{2} + 1}$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (adımlar için bkz. »).

O halde,

$$\frac{{\color{red}{\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u^{2} + 1} d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}\right)}}}{2}$$

$$$v=u^{2} + 1$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$u du = \frac{dv}{2}$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}}}}{2} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}}{2}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ ile uygula:

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}}{2} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}}{2}$$

$$$\frac{1}{v}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{4} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{4}$$

Hatırlayın ki $$$v=u^{2} + 1$$$:

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{4} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{4}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{u}} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{\left(2 x\right)}}^{2} \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} d x} = x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\ln{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} d x} = x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\ln{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}+C$$

$$$\int \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx = \left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\ln\left(4 x^{2} + 1\right)}{4}\right) + C$$$A