$$$x$$$ değişkenine göre $$$\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)}}{c_{0}}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(2 x \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}} d x}}} = {\color{red}{\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}}{c_{0}}}}$$

$$$\int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=x$$$ ve $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(2 x \right)} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}=\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} {\color{red}{\int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{c_{0}}=\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} {\color{red}{\left(x \cdot \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}-\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \cdot 1 d x}\right)}}}{c_{0}}=\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} {\color{red}{\left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} d x}\right)}}}{c_{0}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$ ile uygula:

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} d x}}}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}{2}\right)}}\right)}{c_{0}}$$

$$$u=2 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

O halde,

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}}}{2}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}\right)}{c_{0}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}\right)}{c_{0}}$$

Sinüsün integrali $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{4}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{4}\right)}{c_{0}}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 x$$$:

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}\right)}{c_{0}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}} d x} = \frac{s^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)}}{c_{0}}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}} d x} = \frac{s^{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(1 \right)}}{4 c_{0}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}} d x} = \frac{s^{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(1 \right)}}{4 c_{0}}+C$$

$$$\int \frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}}\, dx = \frac{s^{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(1 \right)}}{4 c_{0}} + C$$$A