$$$\frac{4}{\sqrt{t^{2} - 4}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{4}{\sqrt{t^{2} - 4}}\, dt$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$'i $$$c=4$$$ ve $$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{\sqrt{t^{2} - 4}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{4}{\sqrt{t^{2} - 4}} d t}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{1}{\sqrt{t^{2} - 4}} d t}\right)}}$$

$$$t=2 \cosh{\left(u \right)}$$$ olsun.

O halde $$$dt=\left(2 \cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \sinh{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$ elde edilir.

Dolayısıyla,

$$$\frac{1}{\sqrt{t^{2} - 4}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{4 \cosh^{2}{\left( u \right)} - 4}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \sinh{\left( u \right)}}$$$

İntegral şu hâle gelir

$$4 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{t^{2} - 4}} d t}}} = 4 {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$$4 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 4 {\color{red}{u}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$:

$$4 {\color{red}{u}} = 4 {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{t}{2} \right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{4}{\sqrt{t^{2} - 4}} d t} = 4 \operatorname{acosh}{\left(\frac{t}{2} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{4}{\sqrt{t^{2} - 4}} d t} = 4 \operatorname{acosh}{\left(\frac{t}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{4}{\sqrt{t^{2} - 4}}\, dt = 4 \operatorname{acosh}{\left(\frac{t}{2} \right)} + C$$$A