$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}\, dx$$$.

$$$x=2 \sinh{\left(u \right)}$$$ olsun.

O halde $$$dx=\left(2 \sinh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \cosh{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ elde edilir.

O halde,

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} = \frac{1}{\sqrt{4 \sinh^{2}{\left( u \right)} + 4}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1 = \cosh^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{4 \sinh^{2}{\left( u \right)} + 4}}=\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \cosh{\left( u \right)}}$$$

O halde,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}\, dx = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A