$$$\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{1}{6}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{x^{\frac{2}{3}}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{x^{\frac{2}{3}}} d x}}{6}\right)}}$$

$$$u=\sqrt[3]{x} - 4$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{\prime }dx = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\frac{dx}{x^{\frac{2}{3}}} = 3 du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{x^{\frac{2}{3}}} d x}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\int{3 u^{5} d u}}}}{6}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=3$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = u^{5}$$$ ile uygula:

$$\frac{{\color{red}{\int{3 u^{5} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\left(3 \int{u^{5} d u}\right)}}}{6}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=5$$$ ile uygulayın:

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{5} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 5}}{1 + 5}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{6}}{6}\right)}}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$u=\sqrt[3]{x} - 4$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{6}}{12} = \frac{{\color{red}{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)}}^{6}}{12}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}} d x} = \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{6}}{12}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}} d x} = \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{6}}{12}+C$$

$$$\int \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{5}}{6 x^{\frac{2}{3}}}\, dx = \frac{\left(\sqrt[3]{x} - 4\right)^{6}}{12} + C$$$A