$$$x^{2} \ln^{2}\left(x\right)$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int x^{2} \ln^{2}\left(x\right)\, dx$$$.

$$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=x^{2} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{x^{2} d x}=\frac{x^{3}}{3}$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{x^{2} \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot \frac{x^{3}}{3}-\int{\frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \int{\frac{2 x^{2} \ln{\left(x \right)}}{3} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{2}{3}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x^{2} \ln{\left(x \right)}$$$ ile uygula:

$$\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{2 x^{2} \ln{\left(x \right)}}{3} d x}}} = \frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{2 \int{x^{2} \ln{\left(x \right)} d x}}{3}\right)}}$$

$$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=x^{2} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{x^{2} d x}=\frac{x^{3}}{3}$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$$\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\int{x^{2} \ln{\left(x \right)} d x}}}}{3}=\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{3}}{3}-\int{\frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}}{3}=\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{3} - \int{\frac{x^{2}}{3} d x}\right)}}}{3}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{1}{3}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ ile uygula:

$$\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \ln{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{x^{2}}{3} d x}}}}{3} = \frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \ln{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{2} d x}}{3}\right)}}}{3}$$

Kuvvet kuralını $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=2$$$ ile uygulayın:

$$\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \ln{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}}{9}=\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \ln{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{9}=\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \ln{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}}{9}$$

Dolayısıyla,

$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \ln{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27}$$

Sadeleştirin:

$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{3} \left(9 \ln{\left(x \right)}^{2} - 6 \ln{\left(x \right)} + 2\right)}{27}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{x^{2} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{3} \left(9 \ln{\left(x \right)}^{2} - 6 \ln{\left(x \right)} + 2\right)}{27}+C$$

$$$\int x^{2} \ln^{2}\left(x\right)\, dx = \frac{x^{3} \left(9 \ln^{2}\left(x\right) - 6 \ln\left(x\right) + 2\right)}{27} + C$$$A