$$$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \left(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x\right)\, dx$$$.

Her terimin integralini alın:

$${\color{red}{\int{\left(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{2 x d x} - \int{3 x^{2} d x} + \int{x^{3} d x}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=3$$$ ile uygulayın:

$$\int{2 x d x} - \int{3 x^{2} d x} + {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=\int{2 x d x} - \int{3 x^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=\int{2 x d x} - \int{3 x^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=3$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ ile uygula:

$$\frac{x^{4}}{4} + \int{2 x d x} - {\color{red}{\int{3 x^{2} d x}}} = \frac{x^{4}}{4} + \int{2 x d x} - {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=2$$$ ile uygulayın:

$$\frac{x^{4}}{4} + \int{2 x d x} - 3 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\frac{x^{4}}{4} + \int{2 x d x} - 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{x^{4}}{4} + \int{2 x d x} - 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:

$$\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + {\color{red}{\int{2 x d x}}} = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + {\color{red}{\left(2 \int{x d x}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=1$$$ ile uygulayın:

$$\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 2 {\color{red}{\int{x d x}}}=\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\left(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x\right)d x} = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\left(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(x - 2\right)^{2}}{4}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\left(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(x - 2\right)^{2}}{4}+C$$

$$$\int \left(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x\right)\, dx = \frac{x^{2} \left(x - 2\right)^{2}}{4} + C$$$A