$$$\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{1}{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$2 {\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(- \operatorname{acot}{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \operatorname{acot}{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$$2 {\color{red}{\int{\left(- \operatorname{acot}{\left(u \right)}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{\operatorname{acot}{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

$$$\int{\operatorname{acot}{\left(u \right)} d u}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{t} \operatorname{dv} = \operatorname{t}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dt}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{t}=\operatorname{acot}{\left(u \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=du$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{dt}=\left(\operatorname{acot}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=- \frac{1}{u^{2} + 1} du$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu hale gelir

$$- 2 {\color{red}{\int{\operatorname{acot}{\left(u \right)} d u}}}=- 2 {\color{red}{\left(\operatorname{acot}{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \left(- \frac{1}{u^{2} + 1}\right) d u}\right)}}=- 2 {\color{red}{\left(u \operatorname{acot}{\left(u \right)} - \int{\left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)d u}\right)}}$$

$$$v=u^{2} + 1$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$u du = \frac{dv}{2}$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$- 2 u \operatorname{acot}{\left(u \right)} + 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)d u}}} = - 2 u \operatorname{acot}{\left(u \right)} + 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 v}\right)d v}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=- \frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ ile uygula:

$$- 2 u \operatorname{acot}{\left(u \right)} + 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 v}\right)d v}}} = - 2 u \operatorname{acot}{\left(u \right)} + 2 {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- 2 u \operatorname{acot}{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - 2 u \operatorname{acot}{\left(u \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$v=u^{2} + 1$$$:

$$- 2 u \operatorname{acot}{\left(u \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - 2 u \operatorname{acot}{\left(u \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$- \ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)} - 2 {\color{red}{u}} \operatorname{acot}{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \ln{\left(1 + {\color{red}{\frac{1}{x}}}^{2} \right)} - 2 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \operatorname{acot}{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} d x} = - \ln{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)} - \frac{2 \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} d x} = 2 \ln{\left(x \right)} - \ln{\left(x^{2} + 1 \right)} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}} d x} = 2 \ln{\left(x \right)} - \ln{\left(x^{2} + 1 \right)} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}+C$$

$$$\int \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx = \left(2 \ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right) - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) + C$$$A