$$$x^{2} e^{3 x}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int x^{2} e^{3 x}\, dx$$$.

$$$\int{x^{2} e^{3 x} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=e^{3 x} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{e^{3 x} d x}=\frac{e^{3 x}}{3}$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{3 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \frac{e^{3 x}}{3}-\int{\frac{e^{3 x}}{3} \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int{\frac{2 x e^{3 x}}{3} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{2}{3}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x e^{3 x}$$$ ile uygula:

$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{2 x e^{3 x}}{3} d x}}} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{2 \int{x e^{3 x} d x}}{3}\right)}}$$

$$$\int{x e^{3 x} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=x$$$ ve $$$\operatorname{dv}=e^{3 x} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{e^{3 x} d x}=\frac{e^{3 x}}{3}$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\int{x e^{3 x} d x}}}}{3}=\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(x \cdot \frac{e^{3 x}}{3}-\int{\frac{e^{3 x}}{3} \cdot 1 d x}\right)}}}{3}=\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{x e^{3 x}}{3} - \int{\frac{e^{3 x}}{3} d x}\right)}}}{3}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{1}{3}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$ ile uygula:

$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{e^{3 x}}{3} d x}}}}{3} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{3 x} d x}}{3}\right)}}}{3}$$

$$$u=3 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{3}$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}}}{9} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}}{9}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{3}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}}{9} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{9}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{27} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{27}$$

Hatırlayın ki $$$u=3 x$$$:

$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{27} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}}{27}$$

Dolayısıyla,

$$\int{x^{2} e^{3 x} d x} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}$$

Sadeleştirin:

$$\int{x^{2} e^{3 x} d x} = \frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x}}{27}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{x^{2} e^{3 x} d x} = \frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x}}{27}+C$$

$$$\int x^{2} e^{3 x}\, dx = \frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x}}{27} + C$$$A