$$$\frac{\tan{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{\tan{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}\, dx$$$.

$$$u=\ln{\left(x \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\frac{dx}{x} = du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}}$$

Teğeti $$$\tan\left( u \right)=\frac{\sin\left( u \right)}{\cos\left( u \right)}$$$ olarak yeniden yazın:

$${\color{red}{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}$$

$$$v=\cos{\left(u \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(\cos{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \sin{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sin{\left(u \right)} du = - dv$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{v} d v}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$v=\cos{\left(u \right)}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

Hatırlayın ki $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{\ln{\left(x \right)}}} \right)}}\right| \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{\tan{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} d x} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}\right| \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{\tan{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} d x} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{\tan{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}\, dx = - \ln\left(\left|{\cos{\left(\ln\left(x\right) \right)}}\right|\right) + C$$$A