$$$x$$$ değişkenine göre $$$\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx$$$.

$$$u=a^{\sqrt{x}}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(a^{\sqrt{x}}\right)^{\prime }dx = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln{\left(a \right)}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\frac{a^{\sqrt{x}} dx}{\sqrt{x}} = \frac{2 du}{\ln{\left(a \right)}}$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$${\color{red}{\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\ln{\left(a \right)}} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{2}{\ln{\left(a \right)}}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = 1$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\ln{\left(a \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{1 d u}}{\ln{\left(a \right)}}\right)}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{1 d u}}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{2 {\color{red}{u}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=a^{\sqrt{x}}$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{u}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{2 {\color{red}{a^{\sqrt{x}}}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln{\left(a \right)}}+C$$

$$$\int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln\left(a\right)} + C$$$A