$$$\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1}\, dx$$$.

$$$u=\sqrt[4]{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\sqrt[4]{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\frac{dx}{x^{\frac{3}{4}}} = 4 du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{4 u^{5}}{u^{3} + 1} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=4$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{5}}{u^{3} + 1}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{4 u^{5}}{u^{3} + 1} d u}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{u^{5}}{u^{3} + 1} d u}\right)}}$$

Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmadığından, polinom uzun bölmesi uygulayın (adımlar » görülebilir):

$$4 {\color{red}{\int{\frac{u^{5}}{u^{3} + 1} d u}}} = 4 {\color{red}{\int{\left(u^{2} - \frac{u^{2}}{u^{3} + 1}\right)d u}}}$$

Her terimin integralini alın:

$$4 {\color{red}{\int{\left(u^{2} - \frac{u^{2}}{u^{3} + 1}\right)d u}}} = 4 {\color{red}{\left(\int{u^{2} d u} - \int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=2$$$ ile uygulayın:

$$- 4 \int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u} + 4 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=- 4 \int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u} + 4 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 4 \int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u} + 4 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

$$$v=u^{3} + 1$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(u^{3} + 1\right)^{\prime }du = 3 u^{2} du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$u^{2} du = \frac{dv}{3}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$\frac{4 u^{3}}{3} - 4 {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} d u}}} = \frac{4 u^{3}}{3} - 4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=\frac{1}{3}$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ ile uygula:

$$\frac{4 u^{3}}{3} - 4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 v} d v}}} = \frac{4 u^{3}}{3} - 4 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{3}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{4 u^{3}}{3} - \frac{4 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{3} = \frac{4 u^{3}}{3} - \frac{4 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{3}$$

Hatırlayın ki $$$v=u^{3} + 1$$$:

$$\frac{4 u^{3}}{3} - \frac{4 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{3} = \frac{4 u^{3}}{3} - \frac{4 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{3} + 1\right)}}}\right| \right)}}{3}$$

Hatırlayın ki $$$u=\sqrt[4]{x}$$$:

$$- \frac{4 \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}^{3}}\right| \right)}}{3} + \frac{4 {\color{red}{u}}^{3}}{3} = - \frac{4 \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{\sqrt[4]{x}}}^{3}}\right| \right)}}{3} + \frac{4 {\color{red}{\sqrt[4]{x}}}^{3}}{3}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1} d x} = \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(\left|{x^{\frac{3}{4}} + 1}\right| \right)}}{3}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1} d x} = \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(\left|{x^{\frac{3}{4}} + 1}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{4}} + 1}\, dx = \left(\frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \ln\left(\left|{x^{\frac{3}{4}} + 1}\right|\right)}{3}\right) + C$$$A