$$$\sin{\left(2 x \right)}$$$'nin ikinci türevi
İlgili hesaplayıcılar: Türev Hesaplayıcı, Logaritmik Türev Hesaplayıcı
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)$$$.
Çözüm
Birinci türevi bulun $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)$$$
$$$\sin{\left(2 x \right)}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}$$Sinüsün türevi $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:
$$\cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} = \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$2 \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$.
Ardından, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 \cos{\left(2 x \right)}\right)$$$
Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$$ ile uygula:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(2 x \right)}\right)\right)}$$$$$\cos{\left(2 x \right)}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(2 x \right)}\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}$$Kosinüsün türevi $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$:
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = 2 {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$- 2 \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = - 2 \sin{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} = - 2 \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- 4 \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - 4 \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = - 4 \sin{\left(2 x \right)}$$$.
Dolayısıyla, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right) = - 4 \sin{\left(2 x \right)}$$$.
Cevap
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right) = - 4 \sin{\left(2 x \right)}$$$A