|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$e^{3 x}$$$'nin ikinci türevi
İlgili hesaplayıcılar: Türev Hesaplayıcı, Logaritmik Türev Hesaplayıcı
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right)$$$.
Çözüm
Birinci türevi bulun $$$\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)$$$
$$$e^{3 x}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$Üstel fonksiyonun türevi $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = e^{{\color{red}\left(3 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 3$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:
$$e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)} = e^{3 x} {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$3 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 3 e^{3 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right) = 3 e^{3 x}$$$.
Ardından, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = \frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right)$$$
Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 3$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$ ile uygula:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)}$$$$$e^{3 x}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$$3 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)} = 3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$Üstel fonksiyonun türevi $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = 3 {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$3 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = 3 e^{{\color{red}\left(3 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 3$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:
$$3 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)} = 3 e^{3 x} {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$9 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 9 e^{3 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$.
Dolayısıyla, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$.
Cevap
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$A