$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$ için olası ve bulunan rasyonel kökler
Girdiniz
$$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$ polinomunun rasyonel köklerini bulun.
Çözüm
Tüm katsayılar tamsayı olduğundan, rasyonel kökler teoremini uygulayabiliriz.
Son katsayı (sabit terimin katsayısı) $$$-30$$$ değerine eşittir.
Onun çarpanlarını (artı ve eksi işaretleriyle) bulun: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Bunlar $$$p$$$ için olası değerlerdir.
Baş katsayı (en yüksek dereceli terimin katsayısı) $$$1$$$.
Çarpanlarını bulun (artı ve eksi işaretleriyle): $$$\pm 1$$$.
Bunlar $$$q$$$ için olası değerlerdir.
$$$\frac{p}{q}$$$ için tüm olası değerleri bulun: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.
Sadeleştirin ve varsa yinelenenleri kaldırın.
Bunlar olası rasyonel köklerdir: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Ardından, olası kökleri kontrol edin: $$$a$$$, $$$P{\left(x \right)}$$$ polinomunun bir kökü ise, $$$P{\left(x \right)}$$$'nin $$$x - a$$$'a bölümünden kalan $$$0$$$ olmalıdır (Kalan Teoremi'ne göre bu, $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ anlamına gelir).
$$$1$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - 1$$$ ile böl.
$$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; dolayısıyla, kalan $$$-60$$$’dir.
$$$-1$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ ile böl.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.
Dolayısıyla, $$$-1$$$ bir köktür.
$$$2$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - 2$$$ ile böl.
$$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; dolayısıyla, kalan $$$-84$$$’dir.
$$$-2$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ ile böl.
$$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; dolayısıyla, kalan $$$24$$$’dir.
$$$3$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - 3$$$ ile böl.
$$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; dolayısıyla, kalan $$$-96$$$’dir.
$$$-3$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$ ile böl.
$$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; dolayısıyla, kalan $$$36$$$’dir.
$$$5$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - 5$$$ ile böl.
$$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; dolayısıyla, kalan $$$-60$$$’dir.
$$$-5$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$ ile böl.
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.
Dolayısıyla, $$$-5$$$ bir köktür.
$$$6$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - 6$$$ ile böl.
$$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.
Dolayısıyla, $$$6$$$ bir köktür.
$$$-6$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$ ile böl.
$$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; dolayısıyla, kalan $$$-60$$$’dir.
$$$10$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - 10$$$ ile böl.
$$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; dolayısıyla, kalan $$$660$$$’dir.
$$$-10$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$ ile böl.
$$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; dolayısıyla, kalan $$$-720$$$’dir.
$$$15$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - 15$$$ ile böl.
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; dolayısıyla, kalan $$$2880$$$’dir.
$$$-15$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$ ile böl.
$$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; dolayısıyla, kalan $$$-2940$$$’dir.
$$$30$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - 30$$$ ile böl.
$$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; dolayısıyla, kalan $$$26040$$$’dir.
$$$-30$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 31 x - 30$$$'yi $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$ ile böl.
$$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; dolayısıyla, kalan $$$-26100$$$’dir.
Cevap
Olası rasyonel kökler: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.
Bulunan rasyonel kökler: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.