$$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$ için olası ve bulunan rasyonel kökler

$$$x^{6} - 64 = 0$$$ polinomunun rasyonel köklerini bulun.

Tüm katsayılar tamsayı olduğundan, rasyonel kökler teoremini uygulayabiliriz.

Son katsayı (sabit terimin katsayısı) $$$-64$$$ değerine eşittir.

Onun çarpanlarını (artı ve eksi işaretleriyle) bulun: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.

Bunlar $$$p$$$ için olası değerlerdir.

Baş katsayı (en yüksek dereceli terimin katsayısı) $$$1$$$.

Çarpanlarını bulun (artı ve eksi işaretleriyle): $$$\pm 1$$$.

Bunlar $$$q$$$ için olası değerlerdir.

$$$\frac{p}{q}$$$ için tüm olası değerleri bulun: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.

Sadeleştirin ve varsa yinelenenleri kaldırın.

Bunlar olası rasyonel köklerdir: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.

Ardından, olası kökleri kontrol edin: $$$a$$$, $$$P{\left(x \right)}$$$ polinomunun bir kökü ise, $$$P{\left(x \right)}$$$'nin $$$x - a$$$'a bölümünden kalan $$$0$$$ olmalıdır (Kalan Teoremi'ne göre bu, $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ anlamına gelir).

• $$$1$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(1 \right)} = -63$$$; dolayısıyla, kalan $$$-63$$$’dir.

• $$$-1$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$; dolayısıyla, kalan $$$-63$$$’dir.

• $$$2$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - 2$$$ ile böl.

  $$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$2$$$ bir köktür.

• $$$-2$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$-2$$$ bir köktür.

• $$$4$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - 4$$$ ile böl.

  $$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$; dolayısıyla, kalan $$$4032$$$’dir.

• $$$-4$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$; dolayısıyla, kalan $$$4032$$$’dir.

• $$$8$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - 8$$$ ile böl.

  $$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$; dolayısıyla, kalan $$$262080$$$’dir.

• $$$-8$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$; dolayısıyla, kalan $$$262080$$$’dir.

• $$$16$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - 16$$$ ile böl.

  $$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$; dolayısıyla, kalan $$$16777152$$$’dir.

• $$$-16$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$; dolayısıyla, kalan $$$16777152$$$’dir.

• $$$32$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - 32$$$ ile böl.

  $$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$; dolayısıyla, kalan $$$1073741760$$$’dir.

• $$$-32$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$; dolayısıyla, kalan $$$1073741760$$$’dir.

• $$$64$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - 64$$$ ile böl.

  $$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$; dolayısıyla, kalan $$$68719476672$$$’dir.

• $$$-64$$$'i kontrol et: $$$x^{6} - 64$$$'yi $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$; dolayısıyla, kalan $$$68719476672$$$’dir.

Olası rasyonel kökler: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.

Bulunan rasyonel kökler: $$$2$$$, $$$-2$$$A.