Rasyonel Kökler Teoremi Hesaplayıcısı
Polinomların tüm olası rasyonel köklerini adım adım bulun
Hesap makinesi, rasyonel kökler teoremini kullanarak polinomun tüm olası rasyonel köklerini bulacaktır. Bundan sonra, bu olası köklerden hangilerinin gerçekten kök olduğunu belirleyecektir. Bu, tamsayı (integral) kök teoreminin daha genel bir durumudur (baş katsayı $$$1$$$ veya $$$-1$$$ olduğunda). Adımlar mevcuttur.
Girdiniz
$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$ polinomunun rasyonel köklerini bulun.
Çözüm
Tüm katsayılar tamsayı olduğundan, rasyonel kökler teoremini uygulayabiliriz.
Son katsayı (sabit terimin katsayısı) $$$7$$$ değerine eşittir.
Onun çarpanlarını (artı ve eksi işaretleriyle) bulun: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.
Bunlar $$$p$$$ için olası değerlerdir.
Baş katsayı (en yüksek dereceli terimin katsayısı) $$$2$$$.
Çarpanlarını bulun (artı ve eksi işaretleriyle): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Bunlar $$$q$$$ için olası değerlerdir.
$$$\frac{p}{q}$$$ için tüm olası değerleri bulun: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
Sadeleştirin ve varsa yinelenenleri kaldırın.
Bunlar olası rasyonel köklerdir: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
Ardından, olası kökleri kontrol edin: $$$a$$$, $$$P{\left(x \right)}$$$ polinomunun bir kökü ise, $$$P{\left(x \right)}$$$'nin $$$x - a$$$'a bölümünden kalan $$$0$$$ olmalıdır (Kalan Teoremi'ne göre bu, $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ anlamına gelir).
$$$1$$$'i kontrol et: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$'yi $$$x - 1$$$ ile böl.
$$$P{\left(1 \right)} = -12$$$; dolayısıyla, kalan $$$-12$$$’dir.
$$$-1$$$'i kontrol et: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$'yi $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ ile böl.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.
Dolayısıyla, $$$-1$$$ bir köktür.
$$$\frac{1}{2}$$$'i kontrol et: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$'yi $$$x - \frac{1}{2}$$$ ile böl.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.
Dolayısıyla, $$$\frac{1}{2}$$$ bir köktür.
$$$- \frac{1}{2}$$$'i kontrol et: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$'yi $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$ ile böl.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$; dolayısıyla, kalan $$$\frac{27}{4}$$$’dir.
$$$7$$$'i kontrol et: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$'yi $$$x - 7$$$ ile böl.
$$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$; dolayısıyla, kalan $$$4368$$$’dir.
$$$-7$$$'i kontrol et: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$'yi $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$ ile böl.
$$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$; dolayısıyla, kalan $$$3780$$$’dir.
$$$\frac{7}{2}$$$'i kontrol et: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$'yi $$$x - \frac{7}{2}$$$ ile böl.
$$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$; dolayısıyla, kalan $$$\frac{567}{4}$$$’dir.
$$$- \frac{7}{2}$$$'i kontrol et: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$'yi $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$ ile böl.
$$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$; dolayısıyla, kalan $$$105$$$’dir.
Cevap
Olası rasyonel kökler: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.
Bulunan rasyonel kökler: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.