$$$x^{3}$$$ ifadesini $$$x - 1$$$ ile bölün

Problemi özel formatta yazın (eksik terimler sıfır katsayılarla yazılır):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Adım 1

Bölünenin baş terimini, bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Elde edilen sonuçtan bölüneni çıkarın: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Brown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Brown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Adım 2

Elde edilen kalanın baş terimini bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Elde edilen sonuçtan kalanı çıkarın: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkMagenta}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{DarkMagenta}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&x&+0&\end{array}$$

Adım 3

Elde edilen kalanın baş terimini bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Elde edilen sonuçtan kalanı çıkarın: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+x&{\color{Peru}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&{\color{Peru}x}&+0&\frac{{\color{Peru}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{Peru}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olduğundan, işlem tamamlanmıştır.

Elde edilen tablo bir kez daha gösterilmiştir:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}x^{2}}&{\color{DarkMagenta}+x}&{\color{Peru}+1}&&\text{İpuçları}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Brown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Brown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{DarkMagenta}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&{\color{Peru}x}&+0&\frac{{\color{Peru}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{Peru}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Dolayısıyla, $$$\frac{x^{3}}{x - 1} = \left(x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.