$$$x^{6} - 1$$$ ifadesini $$$x^{2} + 1$$$ ile bölün

Problemi özel formatta yazın (eksik terimler sıfır katsayılarla yazılır):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

Adım 1

Bölünenin baş terimini, bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$$$

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$x^{4} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}$$$.

Elde edilen sonuçtan bölüneni çıkarın: $$$\left(x^{6}-1\right) - \left(x^{6}+x^{4}\right) = - x^{4}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Purple}x^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Purple}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Purple}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Purple}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{Purple}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

Adım 2

Elde edilen kalanın baş terimini bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{- x^{4}}{x^{2}} = - x^{2}$$$.

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$- x^{2} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}$$$.

Elde edilen sonuçtan kalanı çıkarın: $$$\left(- x^{4}-1\right) - \left(- x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&{\color{GoldenRod}- x^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{GoldenRod}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{GoldenRod}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{GoldenRod}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{GoldenRod}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

Adım 3

Elde edilen kalanın baş terimini bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$1 \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1$$$.

Elde edilen sonuçtan kalanı çıkarın: $$$\left(x^{2}-1\right) - \left(x^{2}+1\right) = -2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&- x^{2}&{\color{Chartreuse}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{Chartreuse}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Chartreuse}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chartreuse}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{Chartreuse}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$

Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olduğundan, işlem tamamlanmıştır.

Elde edilen tablo bir kez daha gösterilmiştir:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Purple}x^{4}}&{\color{GoldenRod}- x^{2}}&{\color{Chartreuse}+1}&&&&&\text{İpuçları}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Purple}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Purple}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Purple}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{Purple}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&{\color{GoldenRod}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{GoldenRod}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{GoldenRod}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{GoldenRod}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{Chartreuse}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Chartreuse}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chartreuse}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{Chartreuse}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$

Dolayısıyla, $$$\frac{x^{6} - 1}{x^{2} + 1} = \left(x^{4} - x^{2} + 1\right) + \frac{-2}{x^{2} + 1}$$$.