$$$u^{5}$$$ ifadesini $$$u^{2} + 1$$$ ile bölün

Problemi özel formatta yazın (eksik terimler sıfır katsayılarla yazılır):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Adım 1

Bölünenin baş terimini, bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Elde edilen sonuçtan bölüneni çıkarın: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Purple}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Purple}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Purple}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Purple}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Purple}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Adım 2

Elde edilen kalanın baş terimini bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Elde edilen sonuçtan kalanı çıkarın: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{DarkBlue}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkBlue}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkBlue}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olduğundan, işlem tamamlanmıştır.

Elde edilen tablo bir kez daha gösterilmiştir:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Purple}u^{3}}&{\color{DarkBlue}- u}&&&&&\text{İpuçları}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Purple}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Purple}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Purple}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Purple}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkBlue}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkBlue}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Dolayısıyla, $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.