$$$u^{4}$$$ ifadesini $$$u^{2} + 1$$$ ile bölün

Problemi özel formatta yazın (eksik terimler sıfır katsayılarla yazılır):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Adım 1

Bölünenin baş terimini, bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Elde edilen sonuçtan bölüneni çıkarın: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Crimson}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Crimson}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Crimson}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Adım 2

Elde edilen kalanın baş terimini bölenin baş terimine bölün: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Hesaplanan sonucu tablonun üst kısmına yazın.

Bunu bölenle çarpın: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Elde edilen sonuçtan kalanı çıkarın: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{Chocolate}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chocolate}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olduğundan, işlem tamamlanmıştır.

Elde edilen tablo bir kez daha gösterilmiştir:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Crimson}u^{2}}&{\color{Chocolate}-1}&&&&\text{İpuçları}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Crimson}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Crimson}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chocolate}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Dolayısıyla, $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.