Nollrum för $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

Bestäm nollrummet för $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$.

Den reducerade radtrappstegsformen för matrisen är $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (för stegen, se RREF-kalkylator).

För att bestämma nollrummet, lös matricekvationen $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$

Om vi tar $$$x_{2} = t$$$, så gäller $$$x_{1} = t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$$.

Således, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] t.$$$

Detta är nollrummet.

Nulliteten för en matris är dimensionen av basen för nollrummet.

Således är matrisens nullitet $$$1$$$.

Basen för nollrummet är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\} = \left\{\left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]\right\}.$$$A

Matrisens nollrumsdimension är $$$1$$$A.