Kalkylator för LU-faktorisering
Bestäm LU-faktoriseringen av en matris steg för steg
Räknaren hittar (om möjligt) LU-faktoriseringen av den givna matrisen $$$A$$$, dvs. en sådan nedre triangulär matris $$$L$$$ och en övre triangulär matris $$$U$$$ att $$$A=LU$$$, med visade steg.
Vid partiell pivotering (om radpermutation behövs) hittar räknaren också permutationsmatrisen $$$P$$$ sådan att $$$PA=LU$$$.
Relaterad kalkylator: Räknare för QR-faktorisering
Din inmatning
Bestäm LU-faktoriseringen av $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$.
Lösning
Börja med identitetsmatrisen $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$.
Subtrahera rad $$$1$$$ multiplicerad med $$$\frac{3}{2}$$$ från rad $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
Skriv in koefficienten $$$\frac{3}{2}$$$ i matrisen $$$L$$$ på rad $$$2$$$, kolumn $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Subtrahera rad $$$1$$$ multiplicerad med $$$\frac{1}{2}$$$ från rad $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
Skriv in koefficienten $$$\frac{1}{2}$$$ i matrisen $$$L$$$ på rad $$$3$$$, kolumn $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Lägg till rad $$$2$$$ multiplicerad med $$$\frac{3}{25}$$$ till rad $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
Skriv in koefficienten $$$- \frac{3}{25}$$$ i matrisen $$$L$$$ på rad $$$3$$$, kolumn $$$2$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
Den erhållna matrisen är matrisen $$$U$$$.
Svar
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A