Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}9 & 2\\2 & 6\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}9 & 2\\2 & 6\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}9 - \lambda & 2\\2 & 6 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\left(\lambda - 10\right) \left(\lambda - 5\right)$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\left(\lambda - 10\right) \left(\lambda - 5\right) = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = 10$$$, $$$\lambda_{2} = 5$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = 10$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}9 - \lambda & 2\\2 & 6 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2\\2 & -4\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = 5$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}9 - \lambda & 2\\2 & 6 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4 & 2\\2 & 1\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$10$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$5$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-0.5\\1\end{array}\right]$$$A.