Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\left(\lambda - 1\right)^{2}$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\left(\lambda - 1\right)^{2} = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

$$$\lambda = 1$$$

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{3}{2}\end{array}\right]$$$

Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$1$$$A, multiplicitet: $$$2$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.