Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4 = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = 15 - \sqrt{221}$$$, $$$\lambda_{2} = \sqrt{221} + 15$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = 15 - \sqrt{221}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10 + \sqrt{221} & 11\\11 & 10 + \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = \sqrt{221} + 15$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \sqrt{221} - 10 & 11\\11 & 10 - \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$15 - \sqrt{221}\approx 0.133931252681494$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-2.260551704301682\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$\sqrt{221} + 15\approx 29.866068747318506$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.442369886119864\\1\end{array}\right]$$$A.