Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = -2$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$1$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$-2$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$A.