No AI is used
  1. Hem
  2. Kalkylatorer
  3. Kalkylatorer: Linjär algebra
  4. Kalkylator för linjär algebra

Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$

Kalkylatorn kommer att hitta egenvärdena och egenvektorerna för den kvadratiska $$$2$$$x$$$2$$$-matrisen $$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$, med visade steg.

Relaterad kalkylator: Kalkylator för karakteristiskt polynom

A

Om räknaren inte beräknade något, om du har identifierat ett fel eller om du har ett förslag/feedback, vänligen kontakta oss.

Din inmatning

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$.

Lösning

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4}$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4} = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

  • $$$\lambda = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$

    Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

    Detta är egenvektorn.

  • $$$\lambda = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$

    Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

    Detta är egenvektorn.

Svar

Egenvärde: $$$\frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}\approx 0.381966011250105 t^{2}$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$\frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}\approx 2.618033988749895 t^{2}$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.


Please try a new game Rotatly