Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}17 & 3\\3 & 9\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}17 & 3\\3 & 9\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\left(\lambda - 18\right) \left(\lambda - 8\right)$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\left(\lambda - 18\right) \left(\lambda - 8\right) = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = 18$$$, $$$\lambda_{2} = 8$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = 18$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\3 & -9\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = 8$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}9 & 3\\3 & 1\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{3}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$18$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$8$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{3}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-0.333333333333333\\1\end{array}\right]$$$A.