Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\lambda^{2} - 4$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\lambda^{2} - 4 = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = -2$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3\\1 & 1\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\1 & -3\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$-2$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$2$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$$$A.