Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = \frac{1}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$1$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.