Kalkylator för matrisdiagonalisering

Diagonalisera $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Bestäm först egenvärdena och egenvektorerna (för steg, se kalkylator för egenvärden och egenvektorer).

Egenvärde: $$$6$$$, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

Egenvärde: $$$3$$$, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

Egenvärde: $$$-2$$$, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

Bilda matrisen $$$P$$$, vars kolonn $$$i$$$ är egenvektor nr $$$i$$$: $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Bilda diagonalmatrisen $$$D$$$ vars element på rad $$$i$$$, kolumn $$$i$$$ är egenvärde nummer $$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$.

Matriserna $$$P$$$ och $$$D$$$ är sådana att den ursprungliga matrisen $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (för stegen, se inversmatriskalkylator).

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A