Kalkylator för tangentiell accelerationskomponent
Bestäm accelerationens tangentiella komposant steg för steg
Räknaren kommer att beräkna den tangentiella komponenten av accelerationen för objektet, beskrivet av den vektorvärda funktionen, i den givna punkten, med visade steg.
Relaterade kalkylatorer: Krökningskalkylator, Kalkylator för accelerationens normalkomponent
Din inmatning
Bestäm den tangentiella accelerationskomponenten för $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$.
Lösning
Bestäm derivatan av $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle$$$ (för steg, se derivatakalkylator).
Bestäm magnituden av $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}$$$ (för steg, se magnitudkalkylator).
Bestäm derivatan av $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle$$$ (för steg, se derivatakalkylator).
Beräkna skalärprodukten: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t$$$ (för beräkningssteg, se skalärproduktkalkylator).
Slutligen är accelerationens tangentiella komponent $$$a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.$$$
Svar
Accelerationens tangentiella komponent är $$$a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$A.