Lagrangemultiplikatorer: hitta max- och minvärden för $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$, under bivillkoret $$$x = 0$$$

Bestäm maximum- och minimumvärdena för $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ under bivillkoret $$$x = 0$$$.

Varning! Denna kalkylator kontrollerar inte att villkoren för att använda metoden med Lagranges multiplikatorer är uppfyllda. Använd den på egen risk: svaret kan vara felaktigt.

Ställ upp Lagrangefunktionen: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = x y + \lambda x$$$

Bestäm alla partiella derivator av första ordningen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y + \lambda x\right) = \lambda + y$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Lös därefter systemet $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ eller $$$\begin{cases} \lambda + y = 0 \\ x = 0 \\ x = 0 \end{cases}$$$.

Systemet har följande reella lösning: $$$\left(x, y\right) = \left(0, - \lambda\right)$$$.

$$$f{\left(0,- \lambda \right)} = 0$$$

Eftersom vi endast fann ett värde måste du fortfarande kontrollera om det är ett maximum eller ett minimum. För att göra detta, ta en annan punkt som uppfyller bivillkoret/bivillkoren och beräkna värdet av funktionen i den. Om värdet i denna nya punkt är mindre än värdet i den ursprungliga punkten, är den ursprungliga punkten en maximipunkt. Omvänt, om värdet i den nya punkten är större, är den ursprungliga punkten en minimipunkt.

Kan inte hitta maximum och minimum.