Lagrangemultiplikatorer: hitta max- och minvärden för $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$, under bivillkoret $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$

Bestäm maximum- och minimumvärdena för $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ under bivillkoret $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.

Varning! Denna kalkylator kontrollerar inte att villkoren för att använda metoden med Lagranges multiplikatorer är uppfyllda. Använd den på egen risk: svaret kan vara felaktigt.

Skriv om bivillkoret $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ som $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.

Ställ upp Lagrangefunktionen: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$

Bestäm alla partiella derivator av första ordningen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Lös därefter systemet $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ eller $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$

Systemet har följande reella lösningar: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Eftersom vi endast fann ett värde måste du fortfarande kontrollera om det är ett maximum eller ett minimum. För att göra detta, ta en annan punkt som uppfyller bivillkoret/bivillkoren och beräkna värdet av funktionen i den. Om värdet i denna nya punkt är mindre än värdet i den ursprungliga punkten, är den ursprungliga punkten en maximipunkt. Omvänt, om värdet i den nya punkten är större, är den ursprungliga punkten en minimipunkt.

Kan inte hitta maximum och minimum.