|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lagrangemultiplikatorer: hitta max- och minvärden för $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$, under bivillkoret $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$
Relaterad kalkylator: Kalkylator för kritiska punkter, extrempunkter och sadelpunkter
Din inmatning
Bestäm maximum- och minimumvärdena för $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ under bivillkoret $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Lösning
Varning! Denna kalkylator kontrollerar inte att villkoren för att använda metoden med Lagranges multiplikatorer är uppfyllda. Använd den på egen risk: svaret kan vara felaktigt.
Skriv om bivillkoret $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ som $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.
Ställ upp Lagrangefunktionen: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$
Bestäm alla partiella derivator av första ordningen:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
Lös därefter systemet $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ eller $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
Systemet har följande reella lösning: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Ta punkten $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Eftersom $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ är större än $$$64$$$ kan det konstateras att $$$64$$$ är minimum.
Svar
Maximum
Inget maximum.
Minimum
$$$64$$$A vid $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.