Kritiska punkter, extrempunkter och sadelpunkter för $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$

Bestäm och klassificera de kritiska punkterna för $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.

Första steget är att bestämma alla partiella derivator av första ordningen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Lös därefter systemet $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ eller $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.

Systemet har följande reella lösning: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Låt oss nu försöka klassificera den.

Bestäm alla andrapartialderivator:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Definiera uttrycket $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Eftersom $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ är mindre än $$$0$$$ kan man konstatera att $$$\left(0, 0\right)$$$ är en sadelpunkt.

Lokala maxima

Inga relativa maxima.

Lokala minima

Inga relativa minima.

Sadelpunkter

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A