Integralen av $$$\frac{x}{x + 2}$$$

Bestäm $$$\int \frac{x}{x + 2}\, dx$$$.

Skriv om och dela upp bråket:

$${\color{red}{\int{\frac{x}{x + 2} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)d x}}}$$

Integrera termvis:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\frac{2}{x + 2} d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dx = c x$$$ med $$$c=1$$$:

$$- \int{\frac{2}{x + 2} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{\frac{2}{x + 2} d x} + {\color{red}{x}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=2$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$$$:

$$x - {\color{red}{\int{\frac{2}{x + 2} d x}}} = x - {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{x + 2} d x}\right)}}$$

Låt $$$u=x + 2$$$ vara.

Då $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = du$$$.

Alltså,

$$x - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x + 2} d x}}} = x - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$x - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = x - 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=x + 2$$$:

$$x - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = x - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 2\right)}}}\right| \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{x}{x + 2} d x} = x - 2 \ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{x}{x + 2} d x} = x - 2 \ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{x + 2}\, dx = \left(x - 2 \ln\left(\left|{x + 2}\right|\right)\right) + C$$$A