Integralen av $$$x e^{- x}$$$

Bestäm $$$\int x e^{- x}\, dx$$$.

För integralen $$$\int{x e^{- x} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$${\color{red}{\int{x e^{- x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- x e^{- x} - \int{\left(- e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$$- x e^{- x} - {\color{red}{\int{\left(- e^{- x}\right)d x}}} = - x e^{- x} - {\color{red}{\left(- \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

Låt $$$u=- x$$$ vara.

Då $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - du$$$.

Alltså,

$$- x e^{- x} + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - x e^{- x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- x e^{- x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - x e^{- x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- x e^{- x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - x e^{- x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=- x$$$:

$$- x e^{- x} - e^{{\color{red}{u}}} = - x e^{- x} - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Alltså,

$$\int{x e^{- x} d x} = - x e^{- x} - e^{- x}$$

Förenkla:

$$\int{x e^{- x} d x} = \left(- x - 1\right) e^{- x}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{x e^{- x} d x} = \left(- x - 1\right) e^{- x}+C$$

$$$\int x e^{- x}\, dx = \left(- x - 1\right) e^{- x} + C$$$A