Integralen av $$$t e^{t}$$$

Bestäm $$$\int t e^{t}\, dt$$$.

För integralen $$$\int{t e^{t} d t}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=t$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$ (stegen kan ses »).

Integralen blir

$${\color{red}{\int{t e^{t} d t}}}={\color{red}{\left(t \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot 1 d t}\right)}}={\color{red}{\left(t e^{t} - \int{e^{t} d t}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{t} d t} = e^{t}$$$:

$$t e^{t} - {\color{red}{\int{e^{t} d t}}} = t e^{t} - {\color{red}{e^{t}}}$$

Alltså,

$$\int{t e^{t} d t} = t e^{t} - e^{t}$$

Förenkla:

$$\int{t e^{t} d t} = \left(t - 1\right) e^{t}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{t e^{t} d t} = \left(t - 1\right) e^{t}+C$$

$$$\int t e^{t}\, dt = \left(t - 1\right) e^{t} + C$$$A