Integralen av $$$\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=k$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{k \int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}}$$

Låt $$$u=\frac{x}{k}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\frac{x}{k}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{k}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = k du$$$.

Integralen blir

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Denna integral (Sinusintegralen) har ingen sluten form:

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = k {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=\frac{x}{k}$$$:

$$k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\frac{x}{k}}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}+C$$

$$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)} + C$$$A