Integralen av $$$\ln\left(n\right)$$$

Bestäm $$$\int \ln\left(n\right)\, dn$$$.

För integralen $$$\int{\ln{\left(n \right)} d n}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=\ln{\left(n \right)}$$$ och $$$\operatorname{dv}=dn$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(n \right)}\right)^{\prime }dn=\frac{dn}{n}$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{1 d n}=n$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(n \right)} d n}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(n \right)} \cdot n-\int{n \cdot \frac{1}{n} d n}\right)}}={\color{red}{\left(n \ln{\left(n \right)} - \int{1 d n}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dn = c n$$$ med $$$c=1$$$:

$$n \ln{\left(n \right)} - {\color{red}{\int{1 d n}}} = n \ln{\left(n \right)} - {\color{red}{n}}$$

Alltså,

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \ln{\left(n \right)} - n$$

Förenkla:

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \left(\ln{\left(n \right)} - 1\right)$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \left(\ln{\left(n \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(n\right)\, dn = n \left(\ln\left(n\right) - 1\right) + C$$$A