Integralen av $$$e^{- \frac{x}{3}}$$$

Bestäm $$$\int e^{- \frac{x}{3}}\, dx$$$.

Låt $$$u=- \frac{x}{3}$$$ vara.

Då $$$du=\left(- \frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{3}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - 3 du$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 3 e^{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-3$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- 3 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 3 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 3 {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=- \frac{x}{3}$$$:

$$- 3 e^{{\color{red}{u}}} = - 3 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{3}\right)}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{- \frac{x}{3}} d x} = - 3 e^{- \frac{x}{3}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{- \frac{x}{3}} d x} = - 3 e^{- \frac{x}{3}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{3}}\, dx = - 3 e^{- \frac{x}{3}} + C$$$A