Integralen av $$$e^{- 6 w}$$$

Bestäm $$$\int e^{- 6 w}\, dw$$$.

Låt $$$u=- 6 w$$$ vara.

Då $$$du=\left(- 6 w\right)^{\prime }dw = - 6 dw$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dw = - \frac{du}{6}$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{e^{- 6 w} d w}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{6}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=- \frac{1}{6}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{6}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{6}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{6} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{6}$$

Kom ihåg att $$$u=- 6 w$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{6} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 6 w\right)}}}}{6}$$

Alltså,

$$\int{e^{- 6 w} d w} = - \frac{e^{- 6 w}}{6}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{- 6 w} d w} = - \frac{e^{- 6 w}}{6}+C$$

$$$\int e^{- 6 w}\, dw = - \frac{e^{- 6 w}}{6} + C$$$A