Integralen av $$$5 \ln\left(t^{2}\right)$$$

Bestäm $$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt$$$.

Inmatningen skrivs om: $$$\int{5 \ln{\left(t^{2} \right)} d t}=\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ med $$$c=10$$$ och $$$f{\left(t \right)} = \ln{\left(t \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{10 \ln{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(10 \int{\ln{\left(t \right)} d t}\right)}}$$

För integralen $$$\int{\ln{\left(t \right)} d t}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=\ln{\left(t \right)}$$$ och $$$\operatorname{dv}=dt$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\frac{dt}{t}$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{1 d t}=t$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$10 {\color{red}{\int{\ln{\left(t \right)} d t}}}=10 {\color{red}{\left(\ln{\left(t \right)} \cdot t-\int{t \cdot \frac{1}{t} d t}\right)}}=10 {\color{red}{\left(t \ln{\left(t \right)} - \int{1 d t}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dt = c t$$$ med $$$c=1$$$:

$$10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{\int{1 d t}}} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 {\color{red}{t}}$$

Alltså,

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \ln{\left(t \right)} - 10 t$$

Förenkla:

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{10 \ln{\left(t \right)} d t} = 10 t \left(\ln{\left(t \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 5 \ln\left(t^{2}\right)\, dt = 10 t \left(\ln\left(t\right) - 1\right) + C$$$A