Integralen av $$$\frac{2 x}{1 - x}$$$

Bestäm $$$\int \frac{2 x}{1 - x}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=2$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{1 - x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{2 x}{1 - x} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{x}{1 - x} d x}\right)}}$$

Skriv om integrandens täljare som $$$x=-1\left(1 - x\right)+1$$$ och dela upp bråket:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{x}{1 - x} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - x}\right)d x}}}$$

Integrera termvis:

$$2 {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - x}\right)d x}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{\frac{1}{1 - x} d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dx = c x$$$ med $$$c=1$$$:

$$2 \int{\frac{1}{1 - x} d x} - 2 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 2 \int{\frac{1}{1 - x} d x} - 2 {\color{red}{x}}$$

Låt $$$u=1 - x$$$ vara.

Då $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - du$$$.

Alltså,

$$- 2 x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{1 - x} d x}}} = - 2 x + 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$$- 2 x + 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = - 2 x + 2 {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- 2 x - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - 2 x - 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=1 - x$$$:

$$- 2 x - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - 2 x - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - x\right)}}}\right| \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{2 x}{1 - x} d x} = - 2 x - 2 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

Förenkla:

$$\int{\frac{2 x}{1 - x} d x} = - 2 \left(x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}\right)$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{2 x}{1 - x} d x} = - 2 \left(x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}\right)+C$$

$$$\int \frac{2 x}{1 - x}\, dx = - 2 \left(x + \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)\right) + C$$$A